Problemas de Probabilidad modelos resueltos
1. Cada pregunta de un examen tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es correcta. Un alumno contesta al azar un examen de este tipo con tres preguntas.
a) Construya un espacio muestral adecuado a esta experiencia.
b) Calcule p(B), p(A Ç B), p(C), p(B È C), siendo A, B y C los siguientes sucesos:
A = “El alumno contesta correctamente la primera pregunta”
B = “El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas”
C = “El alumno contesta correctamente las tres preguntas”.
Solución
Vamos a designa por a el acierto, es decir contestar correctamente una pregunta y por f el fallo, el dedir su contrario.
El espacio muestral tiene 8 elementos:
E = {(aaa), (aaf), (afa), (aff), (faa), (faf), (ffa), (fff)}
p(B) = 4/8 = 1/2; p(A Ç B) = 3/8; p(C) = 1/8; p(B È C) = p(B) = 1/2, pues C Ì B
2.[6] De una baraja de 40 cartas extraemos dos cartas sin reemplazamiento. Si ambas no son espadas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copas?.
Solución ..
Llamamos A al suceso “al extraer dos cartas al menos una sea copas sabiendo”, que ninguna es espada.
Calculamos en primer lugar la de su contrario, Ac, es decir la del suceso de que ninguna sea copas:
Teniendo en cuenta la Observación 1, podemos suponer que sólo hay 30 cartas en la baraja.
P(A) = 1 - 0,437 = 0,563
Veamos otra forma de resolverlo:
Llamamos B al suceso ninguna es espada. Nos piden:
p(A/B)= 
p(A Ç B ) = 
3. Lanzamos un dado hasta observar por segunda vez un 6. Hallar la probabilidad de que tal cosa suceda antes del quinto lanzamiento[7].
Solución
Observar un 6 por segunda vez (antes del 5º) puede ocurrir al 2º, 3º ó 4º lanzamiento,
P(ocurra en 2º) =1/36; 6 y 6
P(ocurra en 3º) = 2. (5/6).(1/36)= 5/108; 6 6, 6 6 (dos 6 y otro número cualquiera)
P(ocurra en 4º) = 3. (25/36).(1/36) = 25/432; 66 (dos 6 y los otros dos nº cualesquiera 3 formas para esta situación).
P(observar un 6 por segunda vez antes del 5º lanzamiento)= 1/36 + 5/108 + 25/432 = 0,132
4. La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamiento a una cierta distancia es 0,2. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que:
a) no acierte ninguna; b) acierte alguna; c) acierte 2.
Solución
a) P(5 fallos) = (0,8)5; b) P(acertar alguna vez) = 1 - P(fallar todas) = 1 - (0,8)5;
c) P(acierte 2) = 
5. Una caja contiene 5 tornillos defectuosos y 4 aceptables; otra caja contiene 4 defectuosos y 5 aceptables. Se traslada un tornillo de la primera caja a la segunda; a continuación se extrae un tornillo de la segunda caja. ¿Cuál es la probabilidad de que este último sea aceptable?.
Solución
Sean los sucesos :
B = “tornillo sacado últimamente sea aceptable”
A1 = “tornillo pasado de la 1ª a la 2ª caja sea aceptable”
A2 = “tornillo pasado de la 1ª a la 2ª caja sea defectuoso”
Tenemos que calcular p(B) = p(A1 )p(B/ A1) + p(A2 )p(B/ A2), luego:
p(B) = 
6. En un cierto país, el 99% de los detenidos y sometidos a juicio son culpables del delito que se les imputa. Los jueces, al emitir veredicto, aciertan en el 95% de los casos, tanto si el acusado es culpable como inocente. Según estos datos, calcúlese la probabilidad de que:
a) un ciudadano inocente haya sido declarado culpable.
b) sea culpable, si ha sido declarado inocente.
Solución Prob.
dec. C 0,9405
0,05 dec. I 0,0495
0,95 dec. I 0,0095
Luego:
p(dec. C) = 0,9405 + 0,0005 =0,9410, p( dec. I) = 0, 0495 + 0,0095 = 0,0590
p( I /dec. C) = 0,0005/0,9410 = 0,00053
p(C/ dec. I) = 0,0495/0,0590 = 0, 8389
7. En una ciudad el 10% de los adultos escucha la radio, el 40% lee el periódico y el 70% ve la televisión; entre los que ven la televisión, el 30% lee el periódico y el 4% escucha la radio. El 90% de los que escuchan la radio lee el periódico, siendo sólo el 2% de la población total de adultos los que leen el periódico, ven la televisión y escuchan la radio. Se elige un individuo al azar, se pide la probabilidad de:
a) De que lea el periódico, escuche la radio o vea la televisión.
b) Sabiendo que lee el periódico, la de que escuche la radio.
Solución. Llamamos T, P y R al suceso de que el individuo elegido vea la televisión, lea el periódico o escuche la radio respectivamente.
a) Tenemos: p(T) = 0,7, p(P) = 0,4 , p(R) = 0,1
p(T Ç P) = p(T).p(P/T) = 0,7. 0,3 = 0,21; p(TÇ R) = 0,7.0,04 =0,028;
p(P Ç R) = 0,1.0,9 =0,09 y p(T Ç PÇ R) = 0,02 Þ
p(T È P È R) = 0,7 + 0,4 + 0,1 - 0,21 - 0,028 - 0,09 + 0,02 = 0,892
b) Aplicando la fórmula de Bayes:
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Actividades propuestas
1. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escribe el espacio muestral[8]. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color?¿ y la de que sean de distinto color?.
2. Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. ¿Cuál es la probabilidad de observar dos cruces antes de que se observe la segunda cara.
3. Se lanza un dado 6 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener puntuación par en los lanzamientos impares e impar en los lanzamientos pares?
4. De una baraja de 40 cartas se extraen dos de ellas a la vez. Calcula la probabilidad de que:
a) las dos sean reyes
b) Una sea copas y otra el rey de espadas.
c) al menos una sea copas.
5. Un 65% de los alumnos de un centro han aprobado Matemáticas, un 70% ha aprobado Filosofía, y un 53% ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante, calcúlese la probabilidad de que:
a) haya aprobado al menos una de las dos materias.
b) haya suspendido ambas materias
c) Si aprobó Matemáticas ¿Cuál es la probabilidad de haber aprobado Filosofía?
6. Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida 0,25. si juega cuatro partidas calcula la probabilidad de ganar más de la mitad.
7. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular:
a) Las probabilidades que faltan en la tabla
|
| Rico/a | Pobre | Total |
| Hombre Mujer | ¾ ¾ | ¾ ¾ | 0,607 0,393 |
|
| 0,002 | ¾ |
|
b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre que sea hombre.
c) La probabilidad de que una persona sea rica o mujer.
8. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de cinco cartas de una baraja española se presenten dos reyes?.
9. Un aparato está formado por dos partes A y B. El proceso de fabricación es tal que la probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de un defecto en B es 0,07. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso?
10. Se lanzan 6 bolas en 3 cajas de modo que cualquiera tenga la misma probabilidad de caer en cualquier caja. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cajas queden ocupadas?
Soluciones de las actividades
1. E = {(R, R), (R, V), (V, R), (V; V)}.
p(R,R) =
p(V,R) = 
p(mismo color) = 12/25; p(mismo color) = 13/25.
2. Los casos en que esto ocurre son: CXX ó XX ó XCX, que son incompatibles. por lo tanto la probabilidad de su unión , (A), es la suma de sus probabilidades.
P(A)= 1/8 + 1/4 + 1/8 = 4/8 = 1/2
3. Sea A el suceso obtener impar en los lanzamientos pares y par en los impares. Como son independientes se tendrá: p(A) = 
4. a) P(2R) = 
c) p(ninguna copas) = 
5. Designamos por M el suceso aprobar Matemáticas y por F el de aprobar Filosofía.
a) p(MÈF) = 0,65 + 0,70 - 0,53 = 0,82; b) p(Mc Ç Fc) = 1- 0,82 = 0,18
c) p(F/M) = 
6. Se pide la probabilidad de ganar 3 ó 4 partidas.
p(ganar 3)=
Sumando estos resultados se tendrá la probabilidad pedida.
7. a)
|
| Rico/a | Pobre | Total |
| Hombre Mujer | 0,001214 0,000786 | 0,605786 0,374214 | 0,607 0,393 |
|
| 0,002 | 0,98 | 1 |
b) Como son independientes p(H/ R) = 0,607
c) p(R È M) = 0,002 + 0,393 - 0,000786 = 0,394214
8. Casos posibles 
9. p =0,94.0,93 = 0,8742
10. Supongamos que la probabilidad de que una bola caiga fuera de una caja es nula, entonces la probabilidad de que una bola caiga en una determinada caja es 1/3. Llamemos a las cajas a, b y c.
Sea A el suceso que no caiga ninguna bola en la caja a.
“ B “ “ b.
“ C “ “ c.
El suceso A ÈB È C es el de que al menos una caja quede vacía. La probabilidad pedida es la del suceso contrario. Vamos a aplicar la fórmula [1].
p(A) = p(B) = p(C) = (2/3)6 y p(A Ç B) = p(B ÇC) = p(A Ç C) = (1/3)6 y p(A Ç BÇC)=0 .
Luego
p(A ÈB È C) = 3(2/3)6 - 3(1/3)6 -0 = 63/243, y por lo tanto p = 180/243 = 20/2
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